Kelly معیار تے رولیٹ
Kelly معیار برتری رکھݨ والے داء لاوݨ والے کوں ݙسیندا ہے جو کتنی رقم لاوے۔ رولیٹ کیتے ایہ صاف جواب ݙیندا ہے: کجھ وی نہیں۔
Kelly داء = برتری / نسبت۔ منفی برتری نال فارمولا منفی حصہ ݙیندا ہے، جیندا مطلب ہے داء نہ لاؤ۔ ایہ معیار ہُݨ وی ایہ سمجھݨ کیتے کم دا ہے جو جھکاء اُتے کھیݙݨ والیاں آپݨے داء اوں طرحاں کیوں رکھے، تے ٻئے سارے لوکاں کوں بجٹ موجب داء کیوں رکھݨا چاہیدا ہے۔
معیار
John Kelly (1956) پچھیا جو ہک جواری جیندے کول پکی معلوم برتری ہووے، او کھیݙ دے سرمائےپیسہکھیݙ دا سرمایہکھیݙݨ کیتے وکھری رکھی ڳئی کُل رقم۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام ایہ فیصلہ ہے جو ایں وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کتنا خطرے وچ پاوݨا ہے۔پورا پڑھو ← دے لمے ویلے دے ودھاء کوں سبھ کنوں ودھ کرݨ کیتے داء کیویں رکھے۔ جواب، ہک ایجھے داء کیتے جیہڑا b دے مقابلے 1 ݙیندا ہووے، جِتݨ دا امکانریاضیامکانکہیں نتیجے دا امکان، 0 کنوں 1 تئیں یا 0% کنوں 100% تئیں۔ ہک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو ← p تے ہارݨ دا امکان q = 1 − p، ایہ ہے جو کھیݙ دے سرمائے دا f* = (bp − q) / b حصہ لاؤ۔ مثبت f* دا مطلب ہے اوہا حصہ لاؤ؛ صفر یا منفی دا مطلب ہے داء نہ لاؤ۔ Kelly Bell Labs وچ کم کریندا ہا، تے اوندے مقالے، “A new interpretation of information rate”، مسئلے کوں Claude Shannon دے معلومات دے نظریے وچ رکھیا: جیہڑا جواری ہک شور والی لائن اُتے منصفانہ نسبت نال اشارے گھندا ہے، او کھیݙ دے سرمائے کوں ودھ کنوں ودھ اوں رفتار نال ودھا سڳدا ہے جیندے نال لائن معلومات چیندی ہے۔ 1961 وچ Leo Breiman ثابت کیتا جو Kelly داء، لمے ویلے وچ، ہر بنیادی طور تے وکھری حکمت عملی کنوں اڳوں مُکدا ہے تے مقرر ہدف تئیں تقریباً سبھ کنوں گھٹ ویلے وچ پڄدا ہے۔
رولیٹ وچ Kelly داء
رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← کیتے: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37۔ ہک نمبر دے داءداءہک نمبر دا داءہک کلہا نمبر، خالص ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو ← کیتے: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295۔ ہر معیاری داء منفی Kelly حصہ ݙیندا ہے، کیوں جو ہر داء دی برتری منفی ہے، تے ودھاء کیتے بہترین داء صفر ہے۔ رولیٹ اُتے Kelly داء اوہا ڳالھ آکھݨ دا باقاعدہ طریقہ ہے جیہڑی ہاؤس ایج والا صفحہ آہدا ہے: کوئی ماپ ایجھا کائنی جیندے اُتے منفی توقع والا داء کھیݙ دے سرمائے کوں ودھاوے۔
Kelly کتھاں لاڳو تھیا
جھکاء اُتے کھیݙݨ والیاں کول برتری وی ہئی تے داء دے ماپ دا مسئلہ وی۔ Jagger، García-Pelayo ٹٻر تے Eudaemons سبھ کوں طے کرݨا پیا جو آپݨے ماپے ہوئے فائدے اُتے کتنا لاوݨ، تے گھٹ لاوݨ برتری ضائع کریندا ہے جݙاں جو ودھ لاوݨ برتری ظاہر تھیوݨ کنوں پہلے بربادی دا خطرہ رکھدا ہے۔ 30 وچوں 1 واری لڳݨ والے خانےسامانخانہگھمݨ والے حصے اُتے نمبراں والے 37 خانیاں وچوں ہک۔ ٻئے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو ← کیتے، Kelly آہدا ہے اوں نمبر اُتے فی اسپن کھیݙ دے سرمائے دا 0.57%: $10,000 نال، فی اسپن تقریباً $57، فی اسپن تقریباً 0.054% دے عام ودھاء کیتے، یا 1,000 اسپناں وچ ×1.7۔ اوسط فائدہ ایندا ݙوݨا ہے، فی اسپن 0.11%، پر Kelly عام کھیݙ دے سرمائے کوں نشانہ بݨیندا ہے، اوسط کوں نہیں، جیکوں کجھ خوش قسمت سلسلے پھلا ݙیندے ہن۔ ادھا Kelly عام عملی چوݨ ہے کیوں جو برتری دا اندازہ غیر یقینی ہوندا ہے۔
عام تے اوسط
عام کھیݙ دے سرمائے تے اوسط دے وچکار فرق وݙا ہے۔ ہک ایجھا خانہ گھنو جیہڑا 25 وچوں 1 واری لڳدا ہے، 44% دی برتری، او عدد جیہڑا Thorp آپݨے آلے کیتے ݙیندا ہے۔ Kelly ایندے اُتے کھیݙ دے سرمائے دا 1.26% لاندا ہے۔ 1,000 اسپناں دے بعد عام کھیݙ دا سرمایہ تقریباً 11.5 گُݨا ودھ ڳیا ہے، جݙاں جو اوسط، کجھ ٻہوں خوش قسمت سلسلیاں نال اُتے چھکی ہوئی، تقریباً 249 گُݨا ودھی ہے۔ Kelly کنوں ودھ لاوݨ اوسط ودھیندا ہے تے عام نتیجہ گھٹیندا ہے: Kelly دے ݙوݨے داء اُتے عام کھیݙ دا سرمایہ صرف ݙوݨا تھیندا ہے، تے Kelly دے ݙھائی گُݨا داء اُتے او سنگڑ ویندا ہے، حالانکہ ہر داء ہُݨ وی 44% برتری رکھدا ہے۔ گھٹ لاوݨ دا نقصان تھوڑا ہے: ادھا داء تقریباً ترے چوتھے حصے ودھاء بچا گھندا ہے۔
جݙاں برتری ہک اندازہ ہووے
Kelly فرض کریندا ہے جو برتری معلوم ہے۔ میز اُتے ایندا اندازہ لایا ویندا ہے، تے اندازہ عام طور تے ٻہوں اُچا ہوندا ہے۔ Epstein دی مثال، Thorp دے 44% اُتے بݨی، ہک ایجھا نمبر ہے جیہڑا ݙوہرے صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← والے پہیے دے 1,225 اسپناں وچ 49 واری لڳیا: 25 وچوں 1، 44% برتری، 1.26% دا Kelly داء۔ پر منصفانہ ݙوہرے صفر والے پہیے وچ 38 نمبر ہن، تے اِنہاں وچوں سبھ کنوں مصروف نمبر 1,225 اسپناں وچ تقریباً نواں وچوں ہک واری 49 یا ودھ تئیں پڄدا ہے۔ کہیں وی ریکارڈ دا سبھ کنوں مصروف نمبر اوہو وی ہوندا ہے جیندی قسمت سبھ کنوں ودھ مدد کیتی، ایں کیتے سچ مچ جھکاء والا خانہ وی ریکارڈ وچ آپݨی اصل کنوں چنگا لڳدا ہے: جِتݨ والے دی لعنت۔ جے او خانہ اصل وچ بغیر جھکاء دے ہے، تاں Kelly داء بس ہک ایجھا داء ہے جیہڑا اوسطاً 5.26% ہاردا ہے۔ عام جواب ایہ ہن جو Kelly دا ہک حصہ لاؤ تے گݨدے رہو جݙاں تئیں برتری ہک تازہ ریکارڈ وچ وی قائم نہ رہوے (How to Detect Roulette Wheel Bias ݙیکھو)۔
برتری رکھݨ والے لوک
برتری ڄاݨݨ تے ایکوں چنگی طرحاں ورتݨ ہکو ڳالھ کائنی۔ Haghani تے Dewey (2016) 61 لوکاں کوں $25 ہر ہک ݙتے جو ادھے گھنٹے تئیں ہک ایجھے سکے اُتے داء لاوݨ جیندے بارے اُنہاں کوں ݙسیا ڳیا جو او 60% ویلے ہیڈ آندا ہے، جِتاں دی حد $250 نال (کھݙاریاں کوں حد دا پتہ صرف اُتھاں پڄ تے لڳا)۔ Kelly آہدا ہے ہر واری ہیڈ اُتے کھیݙ دے سرمائے دا 20% لاؤ، تے لکھاری اندازہ لاندے ہن جو 10–20% دے پکے داء تقریباً 95% ویلے حد تئیں پڄ ویندے۔ صرف 21% کھݙاری اُتھاں پڄے۔ 28% دیوالیہ تھی ڳئے، 61 وچوں 18 سارا کجھ ہک اچھال اُتے لا ݙتا، تقریباً ہک تریجھا حصہ آپݨے شروع والے $25 کنوں تلے مُکے، تے اوسط ادائیگیپیسہادائیگیجِتݨ والا داء جو واپس ݙیندا ہے، واپس تھئی داء دی رقم دے اُتے “X to 1” دے طور تے ݙسی ویندی ہے۔پورا پڑھو ← $91 ہئی۔ 61 وچوں صرف پنجاں Kelly معیار دا ناں سݨیا ہا۔ برتری ہووے تاں داواں دا ماپ طے کریندا ہے جو تُساں ایکوں رکھ سڳدے ہو یا نہیں؛ برتری نہ ہووے، جیویں منصفانہ پہیے اُتے، تاں کوئی ماپ مدد نہیں کریندا۔
ایندی جاہ کیا ورتو
برتری دے بغیر، داء دا ماپ بجٹ دا سوال ہے، ودھاء دا نہیں: داء دی رقم = او جیہڑا تُساں فی اسپن خرچ کرݨ کیتے تیار ہو، گھنٹے دے بجٹ تے میز دی رفتار کنوں کڈھیا ہویا (کھیݙ دے سرمائے دے انتظام والا صفحہ)۔ عام کھݙاری کیتے Kelly دا حصہ اوندے جواب دی صفائی ہے: صفر۔ صفر کنوں اُتے جو کجھ تُساں لاندے ہو او کھیݙݨ دی قیمت ہے، تہاݙی چُݨی ہوئی، کہیں فارمولے دی بہتر بݨائی ہوئی نہیں۔
Kelly دے حصے تے “پیسے دے انتظام” بارے ہک نوٹ
“رولیٹ کیتے Kelly” دے ناں نال وِکݨ والے نظام جیہڑے فی داء کھیݙ دے سرمائے دا پکا فیصد تجویز کریندے ہن، سنگڑدی داء دی رقم نال ہکو جیہا داءحکمت عملیہکو جیہا داءہر اسپن اُتے ہکو جتنی رقم لاوݨ۔ ہر داء ودھاوݨ دے نظام دا مقابلہ ایں بنیاد نال تھیندا ہے۔پورا پڑھو ← ہن۔ او کُل داء دی رقمپیسہکُل داء دی رقمہک بیٹھک یا عرصے وچ لائی ڳئی کُل رقم، ولا لائی ڳئی جِتی ڳئی رقم سمیت۔ ٻئے ناں: handle، action۔پورا پڑھو ← دا 2.70% ہاردے ہن تے، کیوں جو ہارݨ نال داء دی رقم سنگڑدی ہے، او بربادی کوں گھٹ امکان والا نہیں بلکہ ہولا بݨیندے ہن۔ بجٹ کوں لمبا چلاوݨ دا ایہ ہک معقول طریقہ ہے؛ ایہ Kelly کائنی، جیہڑا آہدا جو رُک ونڄو۔
فارمولا
سوال جواب
صرف جھکاء والے پہیےلیبجھکاء والا پہیہاینجھا پہیہ جیندے جسمانی نقص کجھ خانیاں دا امکان 1/37 کنوں ودھ کر ݙیندے ہن۔ ٻہوں گھٹ ملدا ہے، تے ہزاراں ریکارڈ کیتے اسپناں نال ای پکڑیا ویندا ہے۔پورا پڑھو ← یا ویلا ماپݨ والے آلے کنوں ماپی ہوئی برتری نال۔ منصفانہ پہیے اُتے نہیں۔
کیوں جو برتری دے اندازے وچ غلطی ہوندی ہے، تے ودھ لاوݨ گھٹ لاوݨ کنوں مہانگا ہے۔ ادھا Kelly تغیرریاضیتغیرایہ ماپ جو نتیجے متوقع قدر دے آلے دوالے کتنے کھنڈے ہوئے ہن۔ ہک نمبر دے داء کیتے ودھ، برابر ادائیگی والے داواں کیتے گھٹ۔پورا پڑھو ← دے چوتھے حصے اُتے ترے چوتھے حصے ودھاء ݙیندا ہے۔
نہیں۔ Kelly برتری ہووݨ دی صورت وچ ودھاء کوں بہترین بݨیندا ہے۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام برتری نہ ہووݨ دی صورت وچ خرچ قابو کریندا ہے۔
حساب دی کھیݙ
پہلے آپ کوشش کرو۔ ہر حل لُکیا ہویا ہے؛ جݙاں تیار ہوو تاں کھولو۔
Thorp تے Shannon دا پیشگوئی والا آلہ تقریباً 44% دا فائدہ ݙیندا ہا۔ ہک پیشگوئی کیتے نمبر اُتے، Kelly آہدا ہے جو کھیݙ دے سرمائےپیسہکھیݙ دا سرمایہکھیݙݨ کیتے وکھری رکھی ڳئی کُل رقم۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام ایہ فیصلہ ہے جو ایں وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کتنا خطرے وچ پاوݨا ہے۔پورا پڑھو ← دا 1.26% لاؤ۔ جے اوہو 44% دا فائدہ پنج نال نال دے نمبراں اُتے کھنڈے ہک داء اُتے ہووے تاں؟
حل ݙکھاؤ
جواب تاں Kelly سرمائے دا 7.1% آہدا ہے، تے سرمایہ تقریباً چھی ڳݨا تکھا ودھدا ہے: 1,000 داواں وچ تقریباً 1.25 ملین ڳݨا، تقریباً 11.5 ڳݨے دے مقابلے وچ۔
44% فائدے والا ہک نمبر دا داءداءہک نمبر دا داءہک کلہا نمبر، خالص ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو ← 0.04 امکان نال جِتدا ہے، کیوں جو 36 × 0.04 = 1.44۔ Kelly دی داء دی رقم فائدہ تقسیم نسبت ہے: 0.44/35 = 1.26%۔ ہر داء اُتے عام ودھاء 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 ہے، ایں کیتے 1,000 داء سرمائے کوں تقریباً e^2.44 ≈ 11.5 نال ضرب ݙیندے ہن۔
ہک داء دی رقم پنج نمبراں اُتے کھنڈاؤ تاں داء 0.20 امکان نال جِتدا ہے تے داء دی رقم سمیت 36/5 فی 1 ݙیندا ہے، یعنی 6.2 بمقابلہ 1: ہُݨ وی 44% دا فائدہ، کیوں جو 0.2 × 7.2 = 1.44۔ Kelly دی رقم 0.44/6.2 = 7.10% بݨ ویندی ہے، تے ہر داء دا ودھاء 0.01404، تقریباً 5.75 ڳݨا۔ 1,000 داواں وچ ایہ e^14.04 ہے، تقریباً 1.25 ملین۔
فائدہ اوہو ہے؛ اُتار چڑھاء نکے ہن۔ پنج وچ ہک واری جِتݨ والا داء دیوالیہ دے خطرے بغیر سرمائے دا وݙا حصہ چا سڳدا ہے، تے Kelly دا ودھاء ایندا انعام ݙیندا ہے۔ Thorp (1984) ایہ مثال ݙکھاوݨ کیتے ورتیندا ہے جو پیشگوئی والے کھݙاری حصیاںپہیہحصہپہیے اُتے نال نال خانیاں دی ہک قوس، میز دے نقشے اُتے کہیں ٹولی کنوں وکھری۔پورا پڑھو ← اُتے داء کیوں لیندے ہن۔ عمل وچ پنج ہمسائے نمبرداءہمسائے نمبرہک نمبر تے پہیے اُتے اوندے ݙوہائیں پاسیاں دے ݙو ݙو خانے، ہک نمبر دے پنج داء۔پورا پڑھو ← سبھ کنوں چنگے اکلے نمبر کنوں تھوڑا گھٹ فائدہ رکھدے ہن (فائدے دی حکمت عملی ݙیکھو)۔
ہک کھݙاری ݙو نال نال دے خانےسامانخانہگھمݨ والے حصے اُتے نمبراں والے 37 خانیاں وچوں ہک۔ ٻئے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو ← لبھ گھدے ہن جیہڑے ہر ہک 37 وچوں 1 دی بجائے 25 وچوں 1 واری لڳدے ہن۔ کیا او اُنہاں دے وچکار ݙو نمبراں دا داءداءݙو نمبراں دا داءݙو نال لڳدے نمبر، خالص ادائیگی 17:1۔پورا پڑھو ← 17 بمقابلہ 1 تے لاوے، یا ہر نمبر اُتے ہک نمبر دا داء؟ Kelly کتنا آہدا ہے، تے ہک اینجھے خانے دے مقابلے وچ سرمایہ کتنا تکھا ودھدا ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب کوئی فرق نہیں: ݙو نمبراں دے داء اُتے سرمائے دا 2.59%، یا ہر نمبر اُتے 1.29%۔ عام سرمایہ 1,000 اسپناں وچ تقریباً 155 ڳݨا ودھدا ہے، ہک خانے نال 11.5 ڳݨے دے مقابلے وچ۔
ݙو نمبراں دا داء 2/25 = 0.08 امکانریاضیامکانکہیں نتیجے دا امکان، 0 کنوں 1 تئیں یا 0% کنوں 100% تئیں۔ ہک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو ← نال جِتدا ہے تے 17 بمقابلہ 1 ݙیندا ہے، ایں کیتے داء تے لائی ہر اکائیپیسہاکائیاو بنیادی داء دی رقم جیندے وچ کوئی نظام یا کھݙاری کم کریندا ہے۔ داء ودھاوݨ دے نظام اکائیاں وچ بیان تھیندے ہن تاں جو ہر میز اُتے لاگو تھیوݨ۔پورا پڑھو ← اُتے 18 × 0.08 = 1.44 واپس کریندا ہے: 44% دا فائدہ، ہک جھکاء والے خانے جتنا۔ Kelly دی رقم فائدہ تقسیم نسبت ہے: 0.44/17 = 2.59%۔
ہر ہک 1.29% دے ݙو ہک نمبر والے داء ٹھیک اوہے نتیجے ݙیندے ہن۔ جݙاں کوئی وی نمبر آندا ہے، ہک چِپپیسہچِپہک پکی رقم دا نشان، جیہڑا داء لاوݨ کیتے میز دے نقشے اُتے رکھیا ویندا ہے۔ ٻیا ناں: check۔پورا پڑھو ← 35 بمقابلہ 1 جِتدی ہے تے ݙوجھی ہار ویندی ہے، خالص 34 × 1.29% = سرمائے دا 44%، جیویں ݙو نمبراں دا داء ݙیندا ہے؛ جݙاں کوئی نہیں آندا، ݙوہائیں ہار ویندیاں ہن۔
ہر اسپن دا ودھاء 0.00505 ہے، ہک خانے دے 0.00244 دے مقابلے وچ، ایں کیتے 1,000 اسپناں وچ عام سرمایہ e^2.44 ≈ 11.5 ڳݨے دی بجائے e^5.046 ≈ 155 ڳݨا ودھدا ہے۔ ݙو چنگے نمبر ہک دے ݙوڳݨے کنوں ٻہوں ودھ قیمتی ہن، ایہو وجہ ہے جو جھکاء والے کھݙاری نمبراں دے گروہاں اُتے داء لیندے ہن۔ Thorp (1984) اوہو مقابلہ حل کریندا ہے۔
کِھل دا وقفہ
رولیٹ وچ ودھاء کیتے بہترین داء ہک ایجھا عدد ہے جیہڑا ہر کوئی پہلے ای ڄاݨدا ہے۔
حوالے
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”