سوال: میز دی حد
$500 والی میز اُتے $10 دا Martingale۔ ایہ کتنی واری ٹُٹدا ہے، ٹُٹݨ اُتے کتنا ہاردا ہے، تے کیا حد ودھاوݨ مدد کریندا ہے؟
لڳاتار چھی ہاراں ایکوں توڑ ݙیندیاں ہن: فی چکر 1.8%، 100 اسپناں دیاں تقریباً 60% بیٹھکاں۔ ٹُٹݨ $630 دا پوندا ہے۔ حد $5,000 تئیں ودھاوݨ ٹُٹݨ کوں نایاب (فی چکر 0.25%) تے وݙا ($5,110) بݨا ݙیندا ہے۔ فی لائے ڈالر متوقع گھاٹا ہر حد اُتے 2.70% ہے۔
سوال
ہک کھݙاری رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← اُتے $10 لاندا ہے تے ہر ہار دے بعد ݙوݨا کریندا ہے، جِت دے بعد ولا شروع۔ میز دی ودھ کنوں ودھ حد $500 ہے۔ (a) کتنیاں لڳاتار ہاراں داء ودھاوݨ دے نظامحکمت عملیداء ودھاوݨ دا نظامہر او قاعدہ جیہڑا پچھلے نتیجیاں دے مطابق داء دی رقم بدلیندا ہے۔ منفی نظام ہار دے بعد ایں کوں ودھیندے ہن، مثبت جِت دے بعد۔پورا پڑھو ← کوں توڑ ݙیندیاں ہن؟ (b) فی چکر امکانریاضیامکانکہیں نتیجے دا امکان، 0 کنوں 1 تئیں یا 0% کنوں 100% تئیں۔ ہک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو ← کیا ہے؟ (c) ٹُٹݨ اُتے کیا ہاریا ویندا ہے؟ (d) $5,000 دی حد جواباں کوں کیویں بدلیندی ہے؟ (e) کیا کوئی حد نظام کوں نفع والا بݨیندی ہے؟
حل (a)–(c)
داء: 10، 20، 40، 80، 160، 320۔ ستواں 640 > 500 ہوسی، ایں کیتے چھی ہاراں ایکوں توڑ ݙیندیاں ہن۔ (b) رتے اُتے p(ہار) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، فی چکر تقریباً 1.8%۔ ہک چکر اوسطاً تقریباً ݙو اسپن چلدا ہے، ایں کیتے 100 اسپناں دی بیٹھک وچ تقریباً 50 چکر ہن تے p(گھٹ کنوں گھٹ ہک ٹُٹݨ) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%۔ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، جیہڑا 63 بنیادی اکائیاںپیسہاکائیاو بنیادی داء دی رقم جیندے وچ کوئی نظام یا کھݙاری کم کریندا ہے۔ داء ودھاوݨ دے نظام اکائیاں وچ بیان تھیندے ہن تاں جو ہر میز اُتے لاگو تھیوݨ۔پورا پڑھو ← ہے، اوں $10 دے مقابلے وچ جیہڑا چکر جِتݨ دی کوشش کریندا پیا ہا۔
حل (d)
$5,000 اُتے: 2,560 تئیں داء دی اجازت ہے؛ ݙاہواں داء، 5,120، رد تھیندا ہے۔ نو ہاراں ایکوں توڑ ݙیندیاں ہن: (19/37)⁹ ≈ فی چکر 0.25%، 100 اسپناں دیاں تقریباً 11% بیٹھکاں۔ ٹُٹݨ اُتے گھاٹا: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110۔ کھݙاری ہک وݙی تباہی دی قیمت اُتے ہک نایاب تباہی خریدی ہے۔ ٻہوں ساریاں بیٹھکاں وچ ٹُٹݨ دا متوقع خرچ p × گھاٹا ≈ 0.0183 × 630 = $500 دی حد اُتے فی چکر $11.5 تے $5,000 اُتے 0.0025 × 5,110 = $12.8 ہے؛ ݙوہیں نیڑے ہن پر برابر نہیں، تے ہر ہک چکر دا متوقع گھاٹاریاضیمتوقع گھاٹامتوقع قدر ضرب لائی ڳئی کُل رقم؛ ہک بیٹھک یا ہک عرصے وچ اوسطاً ہاری ونڄݨ والی رقم۔پورا پڑھو ← جمع او $10 ہے جیہڑے جِتݨ والے چکر کمیندے ہن۔
حل (e)
نہیں۔ فی چکر متوقع گھاٹا = (چکر وچ متوقع کُل داء دی رقم) / 37، ہر حد اُتے، کیوں جو ہر داء آپݨے آپ دا −1/37 ہے۔ حد صرف ایہ طے کریندی ہے جو گھاٹا ٻہوں ساریاں نکیاں جِتاں تے کجھ وݙے گھاٹیاں دے وچکار کیویں ونڈیا ویندا ہے۔ حد دے بغیر تے بے انت کھیݙ دے سرمائےپیسہکھیݙ دا سرمایہکھیݙݨ کیتے وکھری رکھی ڳئی کُل رقم۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام ایہ فیصلہ ہے جو ایں وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کتنا خطرے وچ پاوݨا ہے۔پورا پڑھو ← نال داء ودھاوݨ دا نظام “کم کریندا”، ایں معنی وچ جو کݙاہیں نہ ٹُٹدا، تے ایہ بے حد رقم وی لاندا جیندا متوقع گھاٹا اوں بے حد رقم دا 2.70% ہوندا۔ میز دی حدمیزمیز دی حداجازت والا گھٹ کنوں گھٹ تے ودھ کنوں ودھ داء۔ ودھ کنوں ودھ حد ای ݙوڳݨے کرݨ والے نظاماں کوں روکیندی ہے۔پورا پڑھو ← او شئے کائنی جیہڑی Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاوݨ دا نظام جیہڑا ہر ہار دے بعد داء ݙوڳݨا کریندا ہے۔ ایہ کیا کریندا ہے تے کیا نہیں کریندا، ایہ حکمت عملی والے حصے وچ ݙیکھو۔پورا پڑھو ← کوں کم کرݨ کنوں روکدی ہے۔ حساب ہے۔
ݙو اصل میزاں
Thorp دی مثال $1 دی میز ہے جیندی ودھ کنوں ودھ حد $1,000 ہے، جتھاں ہک کھݙاری ہک ہک ڈالر کر تے رات دی روٹی کیتے $30 جِتݨ دی امید رکھدا ہے۔ داء 1، 2، 4 … 512 ݙاہ داواں دی اجازت ݙیندے ہن، ایں کیتے لڳاتار ݙاہ ہاراں نظام کوں توڑ ݙیندیاں ہن: یورپی پہیے اُتے 785 چکراں وچ ہک واری (امریکی اُتے 613 وچوں ہک واری)، $1,023 دی قیمت اُتے۔ تریہہ چکر سارے 96.2% ویلے کامیاب تھیندے ہن۔ باقی 3.8% تقریباً $1,000 ہاردے ہن، تے شام دا اوسط نتیجہ −$9.17 ہے، جیہڑا بالکل اوں $339 دا 1/37 ہے جیہڑے تریہہ چکر اوسطاً لاندے ہن۔ $2,000 دی ودھ کنوں ودھ حد والی $5 دی میز کوئی وکھری کائنی: $1,280 تئیں داء نو داواں دی اجازت ݙیندے ہن، تے ٹُٹݨ یورپی پہیے اُتے 403 چکراں وچ ہک واری (امریکی اُتے 323 وچوں ہک واری) آندا ہے تے $2,555 دا پوندا ہے۔
ہک امیر کھݙاری
داء ودھاوݨ دے نظام کوں گھٹ حد دی جاہ ہک ڈونگھا کھیݙ دا سرمایہ ݙیو: 1,000 اکائیاں، ہک اکائی دا بنیادی داء تے رتے اُتے 1,000 اسپن، جݙاں وی اڳلا ݙوݨا باقی بچی رقم کنوں ودھ ہووے تاں ولا ہک اکائی کنوں شروع۔ اساں ایجھیاں ہک ملین شاماں دی نقل کیتی۔ یورپی پہیے اُتے 52% نفع وچ مُکدیاں ہن، 21% سارا کجھ ہار ویندیاں ہن، تے اوسط نتیجہ −124 اکائیاں ہے۔ بغیر صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← والی کھیݙ وچ وی، جتھاں ہر داء منصفانہ ہے، صرف تقریباً 60% نفع وچ مُکدیاں۔ عام شام ہک نکی جِت ہے؛ اوسط دی قیمت او شاماں ݙیندیاں ہن جیہڑیاں صفر اُتے مُکدیاں ہن۔
سبق
کیسینو حداں آپݨا تغیرریاضیتغیرایہ ماپ جو نتیجے متوقع قدر دے آلے دوالے کتنے کھنڈے ہوئے ہن۔ ہک نمبر دے داء کیتے ودھ، برابر ادائیگی والے داواں کیتے گھٹ۔پورا پڑھو ← محدود کرݨ کیتے رکھدے ہن، نظاماں کوں ہراوݨ کیتے نہیں۔ Martingale کوں ہراوݨ ہک ضمنی اثر ہے جیندے اُتے او خوش ہن، تے حساب ایکوں ویسے وی ہرا ݙیندا۔ جیہڑا کھݙاری سمجھدا ہے جو حد مسئلہ ہے، اوں کھائی لبھ گھدی ہے تے ایکوں ڈھلوان سمجھ ٻیٹھا ہے۔
فارمولا
سوال جواب
ایہ تہاکوں اُچی حد تئیں زندہ رہݨ ݙیندا ہے، جتھاں ٹُٹݨ نایاب تے وݙا ہے۔ فی ڈالر متوقع گھاٹا نہیں بدلدا۔
داء 10، 30، 70، 150، 310: $500 دی حد پنج ہاراں دے بعد آ ویندی ہے، تے ٹُٹݨ $570 دا پوندا ہے۔ اوہا 2.70%۔
تاں جو ہک کھݙاری اوں کنوں ودھ داء نہ لا سڳے جیہڑا کیسینو دا ذخیرہ آرام نال ادا کر سڳے۔ تغیر دا انتظام۔
حساب دی کھیݙ
پہلے آپ کوشش کرو۔ ہر حل لُکیا ہویا ہے؛ جݙاں تیار ہوو تاں کھولو۔
ہک Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاوݨ دا نظام جیہڑا ہر ہار دے بعد داء ݙوڳݨا کریندا ہے۔ ایہ کیا کریندا ہے تے کیا نہیں کریندا، ایہ حکمت عملی والے حصے وچ ݙیکھو۔پورا پڑھو ← رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← اُتے $100 کنوں شروع تھیندی ہے تے ہر چکر وچ آپ کوں ودھ کنوں ودھ n داء دی اجازت ݙیندی ہے: لڳاتار n ہاراں دے بعد او ہار من تے ولا شروع کریندی ہے۔ ہک چکر دا اوسط نتیجہ n دے فارمولے دے طور تے لکھو، تے یورپی پہیے اُتے 5، 6 تے 7 داواں کیتے کڈھو۔
حل ݙکھاؤ
جواب اوسط 100 × (1 − (38/37)ⁿ) ہے: 5 داواں کیتے −$14.26، 6 کیتے −$17.35 تے 7 کیتے −$20.52۔ ودھ داواں دی اجازت اوسط چکر کوں بہتر نہیں، بھیڑا کریندی ہے۔
چکر $100 جِتدا ہے جے تئیں سارے n داء نہ ہارن، جیہڑا qⁿ امکان نال تھیندا ہے، جتھاں q = 19/37۔ جݙاں سارے ہردے ہن، رقماں 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ جوڑ تے 100 × (2ⁿ − 1) بݨدیاں ہن۔ ایں کیتے اوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) ہے۔
اِتھاں 2q = 38/37، 1 کنوں تھوڑا ودھ، ایں کیتے (2q)ⁿ، n نال ودھدا ہے تے اوسط گھٹدی ہے: n = 5، 1.1426 تے −$14.26 ݙیندا ہے؛ n = 6، 1.1735 تے −$17.35؛ n = 7، 1.2052 تے −$20.52۔ لمی پوڑی گھٹ واری ہردی ہے، 3.6%، 1.8% تے 0.9% چکراں وچ، پر ہر ہار ݙوڳݨی وݙی ہوندی ہے، تے ہر چکر وچ ودھ پیسہ میز اُتوں لنگھدا ہے، ہر داء دے 2.70% تے۔
امریکی پہیے اُتے 2q = 40/38 تے عدد −$29.24، −$36.04 تے −$43.20 ہن (Taylor، 2021)۔ صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← کنوں بغیر کھیݙ وچ 2q = 1، تے ہر چکر دی اوسط ٹھیک صفر ہے، پوڑی جتنی وی لمی ہووے۔
“grand Martingale” ہار دے بعد داء دی رقم ݙوڳݨی کر تے ہک اکائیپیسہاکائیاو بنیادی داء دی رقم جیندے وچ کوئی نظام یا کھݙاری کم کریندا ہے۔ داء ودھاوݨ دے نظام اکائیاں وچ بیان تھیندے ہن تاں جو ہر میز اُتے لاگو تھیوݨ۔پورا پڑھو ← ودھیندی ہے، ایں کیتے رقماں 1، 3، 7، 15، 31 … چلدیاں ہن۔ جے پہلی جِت 1لے، 2جھے، 3جھے یا k ویں داء تے آوے تاں تساں کتنا نفع وچ ہو؟ $10 دی اکائی تے $500 دی ودھ کنوں ودھ حد تے، چکر کتنی واری ٹُٹدا ہے، تے ہک چکر اوسطاً کتنا پوندا ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب k ویں داء تے جِت تہاکوں k اکائیاں نفع وچ چھوڑدی ہے: +1، +2، +3 تے ایویں۔ $10 تے $500 تے چکر پنج ہاراں دے بعد ٹُٹدا ہے، 3.57% چکراں وچ، −$570 نال۔ اوسطاً ہک چکر داء تے لائے $85.73 وچوں $2.32 ہردا ہے: 2.70%۔
k ویں رقم 2ᵏ − 1 اکائیاں ہے: 1، 3، 7، 15، 31۔ پہلیاں k − 1 رقماں جوڑ تے 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 بݨدیاں ہن۔ k ویں داء تے جِت 2ᵏ − 1 ݙیندی ہے، ایں کیتے چکر (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k اکائیاں نفع نال مُکدا ہے: جِت کنوں پہلے ہر ہار کیتے ہک ودھیک اکائی۔
$10 فی اکائی تے رقماں $10، $30، $70، $150 تے $310 ہن؛ اڳلی، $630، $500 دی حد کنوں اُتے ہے۔ لڳاتار پنج ہاراں، (19/37)⁵ = 3.57%، دی قیمت 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ہے۔
اوسط: k = 1 کنوں 5 تئیں جِتاں (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 امکان نال $10 × k گھن آندیاں ہن، تے ٹُٹݨ 3.57% امکان نال $570 گھن ویندا ہے؛ رَل تے −$2.32۔ ہر چکر وچ داء تے لائی رقم دی اوسط $85.73 ہے، تے 2.32/85.73 = 2.70%۔ اوہا میز اُتے عام Martingale چھی ہاراں دے بعد ٹُٹدی ہے، 1.83% چکراں وچ، −$630 نال، تے داء تے لائے $64.20 وچوں $1.74 ہردی ہے: ولا 2.70%۔
ہک کھݙاری $1,000 دی حد والی میز اُتے $1 دے پہلے داء نال رتے اُتے Martingale دا منصوبہ بݨیندا ہے، ایں کیتے ݙاہ داء ممکن ہن: $1، $2، $4 تے ایویں $512 تئیں۔ ہک چکر کتنی واری ساریاں ݙاہ ہردا ہے، ایندے وچ اوسطاً کتنا ویلا لڳدا ہے، تے 200 داواں دی شام کتنی واری ایویں مُکدی ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب ہک چکر تقریباً 784 وچوں ہک واری ساریاں ݙاہ ہردا ہے، جیندی قیمت $1,023 ہے۔ ایہ اوسطاً تقریباً 1,600 داء ہن، تے 200 داواں دی شام تقریباً 11% واری کندھ نال ٹکریندی ہے۔ ہک چکر ہُݨ وی اوسطاً داء تے لائے $11.31 وچوں $0.31 ہردا ہے: 2.70%۔
رتے اُتے داء صفر سمیت 19/37 امکان نال ہردا ہے۔ لڳاتار ݙاہ: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، تقریباً 784 وچوں 1۔ رقماں 1 + 2 + 4 + … + 512 جوڑ تے $1,023 بݨدیاں ہن۔
ہک چکر اوسطاً 2.05 داء گھندا ہے، ایں کیتے 784 چکر تقریباً 1,600 داء گھندے ہن۔ اسپن بہ اسپن ڳݨو تاں ݙاہ ہاراں دا سلسلہ 200 داواں وچ کتھائیں نہ کتھائیں 11.3% واری آندا ہے۔
تباہیاں دے وچکار کھݙاری ہر چکر $1 جِتدا ہے: بھیڑے کنوں پہلے تقریباً $783، وَل −$1,023، سارے عرصے وچ تقریباً −$240۔ ہر چکر: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31۔ ہر چکر وچ داء تے لائی رقم: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31۔ تے −0.31/11.31 = −2.70%۔
$500 دی حد تے $10 دے پہلے داء نال مقابلہ کرو، چھی داء: کندھ 55 چکراں وچ ہک واری آندی ہے، تے 200 داواں دی شام 84% واری اوں نال ٹکریندی ہے۔ اُچی حد تباہی کوں گھٹ آوݨ والا تے وݙا بݨیندی ہے، سستا نہیں۔
کِھل دا وقفہ
ہر حد اُتے نایاب تے وݙا۔ حاصل ضرب مستقل ہے۔
حوالے
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.