دیوالیہ تھیوݨ دا خطرہ
ہدف تئیں پڄݨ کنوں پہلے سارا کھیݙ دا سرمایہ ہار ونڄݨ دا امکان۔
برابر ادائیگی والے داواں کیتے، دیوالیہ تھیوݨ دا خطرہ جواری دی بربادی والے فارمولے موجب چلدا ہے۔ $500 دے کھیݙ دے سرمائے، $10 دے داواں تے $600 دے ہدف نال، تُساں تقریباً 57% ویلے ہدف تئیں پڄدے ہو تے باقی ویلے سبھ کجھ ہار ویندے ہو۔
سوال
تہاݙے کول a اکائیاںپیسہاکائیاو بنیادی داء دی رقم جیندے وچ کوئی نظام یا کھݙاری کم کریندا ہے۔ داء ودھاوݨ دے نظام اکائیاں وچ بیان تھیندے ہن تاں جو ہر میز اُتے لاگو تھیوݨ۔پورا پڑھو ← دا کھیݙ دا سرمایہپیسہکھیݙ دا سرمایہکھیݙݨ کیتے وکھری رکھی ڳئی کُل رقم۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام ایہ فیصلہ ہے جو ایں وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کتنا خطرے وچ پاوݨا ہے۔پورا پڑھو ← ہے تے تُساں a + b اکائیاں تئیں پڄݨ چاہندے ہو، ہک وقت وچ ہک اکائی ہک برابر ادائیگی والے داءداءبرابر ادائیگی والا داءرتا/کالا، طاق/جفت، وݙا/نکا۔ 18 نمبر، خالص ادائیگی 1:1۔پورا پڑھو ← اُتے لا تے، جیندا جِتݨ دا امکانریاضیامکانکہیں نتیجے دا امکان، 0 کنوں 1 تئیں یا 0% کنوں 100% تئیں۔ ہک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو ← p = 18/37 تے ہارݨ دا امکان q = 19/37 ہے۔ صفر تئیں پڄݨ کنوں پہلے ہدف تئیں پڄݨ دا امکان کیا ہے؟ ایندا جواب Pascal، Fermat تے Huygens 1650 دی ݙہاکی وچ کڈھیا تے ایہ امکان دے سبھ کنوں پراݨے نتیجیاں وچوں ہک ہے۔
جواری دی بربادی والا فارمولا
P(ہدف تئیں پڄݨ) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)۔ دیوالیہ تھیوݨ دا خطرہریاضیدیوالیہ تھیوݨ دا خطرہکہیں نشانے یا اسپناں دی ڳݨتی تئیں پڄݨ کنوں پہلے سارا کھیݙ دا سرمایہ ہار ونڄݨ دا امکان۔پورا پڑھو ← ہک وچوں ایہ گھٹاوݨ ہے۔ q/p = 19/18 ≈ 1.0556 نال، نسبت اکائیاں دی تعداد نال قوت نمائی طریقے نال ودھدی ہے، ایں کیتے فارمولا نکیاں اکائیاں کوں سخت سزا ݙیندا ہے: ہدف تئیں پڄݨ کیتے جتنے ودھ داء چاہیدے ہن، راہ وچ 2.70% دا محصول اتنی ودھ واری ݙیوݨا پوندا ہے۔
ایکوں پڑھݨ
نکیاں اکائیاں نقصان ݙیندیاں ہن۔ $10 دے داواں نال $500 کوں ݙوݨا کرݨ دی کوشش 6% ویلے کامیاب تھیندی ہے؛ $500 دے ہک داء نال 48.6% ویلے۔ دلیر کھیݙ، گھٹ تے وݙے داء، منفی توقع والی کھیݙ وچ ہدف تئیں پڄݨ دا امکان سبھ کنوں ودھ کریندی ہے، کیوں جو ایہ ایج لڳݨ دیاں واریاں سبھ کنوں گھٹ کریندی ہے۔ ایہ تہاݙے نال تھیوݨ والی ڳالھ دا تغیرریاضیتغیرایہ ماپ جو نتیجے متوقع قدر دے آلے دوالے کتنے کھنڈے ہوئے ہن۔ ہک نمبر دے داء کیتے ودھ، برابر ادائیگی والے داواں کیتے گھٹ۔پورا پڑھو ← وی سبھ کنوں ودھ کریندی ہے، تے شام جلدی مُکا ݙیندی ہے۔ ایں مسئلے دا ناں “دلیر کھیݙ بہترین ہے” ہے تے ایکوں Dubins تے Savage 1965 وچ ثابت کیتا۔
مسئلہ کتھوں شروع تھیا
سوال رولیٹ کنوں پراݨا ہے۔ 1656 وچ Pascal Fermat کوں ہک معمہ ݙتا: ݙو کھݙاری ترے پاسے سٹیندے ہن، ہر ہک 12 گوٹیاں نال شروع کریندا ہے؛ 11 دی سٹ ہک گوٹی ہک پاسے ٹوریندی ہے، 14 دی سٹ ٻئے پاسے۔ ݙوہاں ایکوں حل کیتا، تے Huygens، جیکوں ریاضی دان Pierre de Carcavi دے ہک خط راہیں ایندا پتہ لڳا، ایکوں 1657 وچ امکان بارے پہلی کتاب دے پنجویں سوال دے طور تے چھاپیا، جواب نال تے ثبوت دے بغیر۔ یاراں 27 طریقیاں نال سٹیا ونڄ سڳدا ہے تے چوݙاں صرف 15 نال، ایں کیتے ہر گوٹی 14 وچوں 9 واری پہلے کھݙاری دے پاسے ٹردی ہے، تے اُتلا فارمولا، ہر ہک دیاں 12 گوٹیاں نال، اوکوں سارا کجھ ہارݨ دے مقابلے سارا کجھ جِتݨ دا تقریباً 1,157 گُݨا ودھ امکان ݙیندا ہے۔ 2.70% دی ایج ٻہوں نکی ہے، پر اوہو فارمولا ݙکھیندا ہے جو ٻہوں سارے داواں وچ ایہ کیا کریندی ہے۔
ہک اصل دلیر داء
اپریل 2004 وچ ہک جوان انگریز Ashley Revell آپݨا تقریباً سارا سامان، کپڑیاں سمیت، ویچ ݙتا تے $135,300 گھن تے Las Vegas دے Plaza ڳیا۔ کجھ نکے داواں دے بعد اوں ساری رقم ہک واری رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← اُتے لا ݙتی۔ گیندسامانگینداو نکی گیند جیہڑی گھمݨ والے حصے دی اُلٹی سمت پٹڑی اُتے سٹی ویندی ہے۔ اڄ کل دیاں گینداں ivorine یا Teflon دیاں، 18–21 mm دیاں ہوندیاں ہن۔پورا پڑھو ← رتے 7 اُتے آئی تے او $270,600 گھن تے ٻاہر نکلیا۔ ݙوہرے صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← والے پہیے اُتے او ہک اسپن 47.37% دا امکان ہا تے اوندے اُتے اوسطاً $7,121 پیا، ہک داء اُتے 5.26% دی ایج۔ $10 دے داواں وچ ونڈیا ونڄے تاں اوہو ہدف حاصل کرݨ تقریباً ناممکن ہوندا۔ دلیر کھیݙ داء کوں چنگا نہیں بݨیندی؛ ایہ ایکوں جتنا ہو سڳے نکا بݨیندی ہے۔
ہدف دے بغیر دیوالیہ تھیوݨ دا خطرہ
جے تُساں بس سبھ کجھ ہارݨ تئیں کھیݙدے ہو یا N اسپناں دے بعد رُک ویندے ہو، تاں سوال بݨ ویندا ہے “N اسپناں دے اندر میݙے کھیݙ دے سرمائے دے صفر تئیں پڄݨ دا امکان کیا ہے؟”۔ عام N کیتے کوئی بند فارمولا کائنی پر ایں سائٹ دے نقل کار ایہ کڈھ ݙیندے ہن: رتے اُتے $10 نال $500 دا کھیݙ دا سرمایہ 100 اسپناں وچ تقریباً کݙاہیں نہیں مُکدا (1% کنوں گھٹ)، 500 اسپناں وچ تقریباً 9% ویلے مُک ویندا ہے، تے 5,000 وچ تقریباً 95% ویلے۔ روکݨ دے اصول دے بغیر امکان 100% ول ویندا ہے، جیہڑا ہاؤس ایجریاضیہاؤس ایجہاؤس ایج (کیسینو دا پکا فائدہ): ہر داء دی رقم دا او حصہ جیہڑا کیسینو اوسطاً رکھ گھندا ہے: یورپی رولیٹ وچ 2.70%۔پورا پڑھو ← دی لمے ویلے والی شکل ہے۔
- p10 −$500
- p25 −$500
- میانہ −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
کتنا چِر، تے کتنا اڳوں
ݙو ٻئے کلاسیکی نتیجے اُنہاں سوالاں دا جواب ݙیندے ہن جیہڑے کھݙاری واقعی پچھدے ہن۔ ہدف دے بغیر، یورپی پہیے اُتے ہکو جیہے برابر ادائیگی والے داء کھیݙ دے سرمائے دی ہر اکائی کیتے اوسطاً 37 اسپن چلدے ہن تے امریکی اُتے 19، کیوں جو ہر اسپن اوسطاً اکائی دا 1/37 گھن ویندا ہے (امریکی پہیے اُتے 1/19): 100 اکائیاں اوسطاً 3,700 اسپن چلدیاں ہن، حالانکہ ایجھیاں ادھیاں بیٹھکاں 3,134 دے اندر مُک ویندیاں ہن (Session Length and Cost ݙیکھو)۔ تے کھیݙ دا سرمایہ بھاویں کتنا وݙا ہووے، یورپی پہیے اُتے کݙاہیں k اکائیاں نفع وچ ہووݨ دا امکان (18/19)ᵏ ہے۔ ایہ ہک اکائی کیتے 95% تے ݙاہ کیتے 58% ہے، پر کوئی کھیݙ دا سرمایہ، بھاویں کتنا ڈونگھا ہووے، کݙاہیں 13 اکائیاں نفع وچ ہووݨ دا ادھا امکان نہیں ݙیندا؛ امریکی پہیے اُتے امکان (9/10)ᵏ ہے تے 7 اکائیاں اُتے ادھے کنوں تلے آ ویندا ہے۔
ادھو ادھ امکان کیتے کھیݙ دا سرمایہ
سوال اُلٹا کرو: سارا کجھ ہارݨ کنوں پہلے ہک خاص رقم جِتݨ دا گھٹ کنوں گھٹ ادھو ادھ امکان رکھݨ کیتے تہاکوں کتنا گھن آوݨا پوسی؟ نکی جِت کیتے، ٻہوں نہیں۔ وݙی جِت کیتے لوڑیندا کھیݙ دا سرمایہ تیزی نال چڑھدا ہے، تے ہک نقطے کنوں اڳوں کوئی کھیݙ دا سرمایہ کافی کائنی، کیوں جو بے انت سرمایہ وی کݙاہیں اتنا اڳوں ونڄݨ دا ادھو ادھ کنوں گھٹ امکان ݙیندا ہے۔ Taylor (2021) ایکوں ٻئے طریقے نال آہدا ہے: امریکی پہیے اُتے 100 اکائیاں تئیں پڄݨ دا ادھو ادھ امکان رکھݨ کیتے تہاکوں 94 نال شروع کرݨا پوسی، 6 جِتݨ کیتے 94 خطرے وچ پا تے۔ یورپی پہیے اُتے تہاکوں 88 چاہیدے ہوسن۔
عملی سبق
طے کرو جو تُساں کیا کرݨ چاہندے ہو۔ جے مقصد ہک خاص جِت ہے، تاں وݙے تے گھٹ داء لاؤ۔ جے مقصد ہک لمی شام ہے، تاں نکے داء لاؤ تے من گھنو جو ایج ہک وݙی کُل داء دی رقمپیسہکُل داء دی رقمہک بیٹھک یا عرصے وچ لائی ڳئی کُل رقم، ولا لائی ڳئی جِتی ڳئی رقم سمیت۔ ٻئے ناں: handle، action۔پورا پڑھو ← دا آپݨا 2.70% گھن ویسی۔ جے مقصد ݙوہیں ہن، تاں کجھ نہ کجھ چھوڑݨا پوسی، تے او عام طور تے ہدف ہوندا ہے۔
فارمولا
سوال جواب
Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاوݨ دا نظام جیہڑا ہر ہار دے بعد داء ݙوڳݨا کریندا ہے۔ ایہ کیا کریندا ہے تے کیا نہیں کریندا، ایہ حکمت عملی والے حصے وچ ݙیکھو۔پورا پڑھو ← نکیاں بیٹھکاں کیتے ایکوں گھٹیندا ہے تے لمیاں کیتے ٻہوں ودھا ݙیندا ہے۔ وݙی اکائی نال ہکو جیہا داءحکمت عملیہکو جیہا داءہر اسپن اُتے ہکو جتنی رقم لاوݨ۔ ہر داء ودھاوݨ دے نظام دا مقابلہ ایں بنیاد نال تھیندا ہے۔پورا پڑھو ← ایکوں گھٹاوݨ دا ایماندار طریقہ ہے۔
اُتلا فارمولا برابر ادائیگی کیتے ہے۔ ودھ تغیر والے داواں کیتے نکی داء دی رقم اُتے بربادی دا امکان ودھ ہے تے ہدف ودھ اُوچے نیویں طریقے نال حاصل تھیندا ہے؛ حساب کار ورتو۔
ہدف ول ہر قدم بربادی ول ہر قدم کنوں تھوڑا گھٹ امکان والا ہے؛ نسبت قدماں دی تعداد اُتے ودھدی ویندی ہے۔
حساب دی کھیݙ
پہلے آپ کوشش کرو۔ ہر حل لُکیا ہویا ہے؛ جݙاں تیار ہوو تاں کھولو۔
تہاݙے کول $100 ہن تے تساں $1,000 چاہندے ہو، صرف رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← اُتے داء لا تے۔ پہلا منصوبہ: ہک واری وچ $1 لاؤ۔ ݙوجھا منصوبہ: $500 کنوں اڳوں ونڄݨ تئیں سبھ کجھ لاؤ، وَل صرف اتنا جو $1,000 تئیں پڄو۔ کیہڑا منصوبہ بہتر ہے، تے کتنا؟
حل ݙکھاؤ
جواب ݙوجھا منصوبہ، ٻہوں ودھ۔ ایہ تقریباً 9.0% واری $1,000 تئیں پڄدا ہے، منصفانہ 10% دے نیڑے۔ پہلا منصوبہ 10²² وچ تقریباً 7 واری کامیاب تھیندا ہے۔
منصفانہ کھیݙریاضیمنصفانہ کھیݙاینجھی کھیݙ جیندے وچ کہیں پاسے کوں فائدہ نہ ہووے: ہر داء دی متوقع قدر صفر ہووے۔پورا پڑھو ← وچ تساں جو وی کرو، $100 کنوں $1,000 تئیں ݙاہ وچ ہک واری پڄسو، کیوں جو تہاݙے پیسے دی اوسط قدر $100 ای رہندی ہے۔
ہاؤس ایج ہر داء دا 2.70% گھن ویندا ہے، ایں کیتے کُل جتنا گھٹ داء تے لاؤ، اتنا ݙاہ وچ ہک دے نیڑے رہسو۔ ݙوجھا منصوبہ معاملہ چند داواں وچ طے کر ݙیندا ہے: $100، $200، $400، $800 بݨدے ہن، تے وَل $200 کافی ہن۔ ایہ تقریباً 9.0% واری کامیاب تھیندا ہے۔ پہلا منصوبہ ٹور مُکݨ کنوں پہلے ہزاراں داء گھندا ہے، تے ہاؤس ایج، ہر ہک اُتے نکا، جوڑ تے تقریباً پکا دیوالیہ بݨ ویندا ہے۔
ایہ Dubins–Savage نتیجہ آپݨی سبھ کنوں سادی شکل وچ ہے (Epstein، 2013): کیسینو دی طرفداری کرݨ والی کھیݙ وچ، جتنا لوڑ ہے اتنا داء تے لاؤ، جتنیاں گھٹ واری ممکن ہووے۔
تہاݙے کول $500 ہن تے تساں $1,000 چاہندے ہو، ملدے ای رُک ویسو۔ تساں ہک قسم دا داء چُݨدے ہو تے اینکوں دہریندے ہو جے تئیں او ہک واری جِت نہ ونڄے یا پیسے مُک نہ ونڄن۔ کیہڑی قسم سبھ کنوں چنگا موقع ݙیندی ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب رتے اُتے $500 دا ہک داء: 48.6%۔ پیسے نکے داواں اُتے کھنڈاوݨ والا ہر منصوبہ ایں کنوں بھیڑا ہے۔
ہر داء دی رقم اینجھی چُݨو جو ہک جِت کافی ہووے: ہک نمبر دے داءداءہک نمبر دا داءہک کلہا نمبر، خالص ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو ← اُتے $30، $1,050 جِتدا ہے، ݙو نمبراں دے داءداءݙو نمبراں دا داءݙو نال لڳدے نمبر، خالص ادائیگی 17:1۔پورا پڑھو ← اُتے $60، $1,020 جِتدا ہے، تے ایویں۔ وَل ڳݨو جو پیسے مُکݨ کنوں پہلے گھٹ کنوں گھٹ ہک داء جِتݨ دا امکان کیا ہے۔ سولہاں $30 والے ہک نمبر دے داء سارے (36/37)¹⁶ = 64.5% امکان نال خطا ویندے ہن، ایں کیتے او 35.5% واری $1,000 تئیں پڄدے ہن۔
جدول ہر داء ݙکھیندی ہے۔ رتا سبھ کنوں چنگا ہے کیوں جو او ہک داء وچ پڄ ویندا ہے، ایں کیتے ہاؤس ایج ہک واری، $500 اُتے، بھریا ویندا ہے۔ چھی نمبراں دا داءداءچھی نمبراں دا داءݙو نال لڳدیاں قطاراں دے چھی نمبر، خالص ادائیگی 5:1۔ فرانسیسی: sixain۔پورا پڑھو ← ݙوجھے نمبر تے ہے کیوں جو ایندے کیتے صرف ترے لوڑیندے ہن۔ ہک درجنداءدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، خالص ادائیگی 2:1۔پورا پڑھو ← دا داء سبھ کنوں بھیڑا ہے، 12/37 دا موقع؛ $250 دیاں اکائیاںپیسہاکائیاو بنیادی داء دی رقم جیندے وچ کوئی نظام یا کھݙاری کم کریندا ہے۔ داء ودھاوݨ دے نظام اکائیاں وچ بیان تھیندے ہن تاں جو ہر میز اُتے لاگو تھیوݨ۔پورا پڑھو ← وچ کھیݙی ونڄے جے تئیں $1,000 یا ودھ نہ تھی ونڄن، تاں وی درجن صرف 46.4% واری پڄدی ہے۔
Bollman (2024) امریکی پہیے کیتے اوہا جدول بݨیندا ہے۔ اوندی درجن والی قطار وچ غلطی ہے: اوں وچ 12/38 = 31.6% ہووݨا چاہیدا ہے۔
داءداء دی رقم × داواں دی تعداد$1,000 تئیں پڄݨ دا امکانہک نمبر دا داء$30 × 1635.5%ݙو نمبراں دا داء$60 × 835.9%ترے نمبراں دا داء$90 × 534.5%چار نمبراں دا داء$125 × 436.7%چھی نمبراں دا داء$166, $166, $16841.2%درجن$500 × 132.4%رتا$500 × 148.6%تساں اسپن دے بعد اسپن رتے اُتے ہک اکائی لیندے ہو، اینجھے کھیݙ دے سرمائےپیسہکھیݙ دا سرمایہکھیݙݨ کیتے وکھری رکھی ڳئی کُل رقم۔ کھیݙ دے سرمائے دا انتظام ایہ فیصلہ ہے جو ایں وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کتنا خطرے وچ پاوݨا ہے۔پورا پڑھو ← نال جیہڑا کݙاہیں نہیں مُکدا۔ پہلے اسپن دے بعد تساں ہک اکائی نفع یا ہک اکائی گھاٹے وچ ہو۔ ایں دا امکان کیا ہے جو تساں کݙاہیں ولا ٹھیک برابر تے آسو؟
حل ݙکھاؤ
جواب 37 وچ 36، 97.3%۔ امریکی پہیے اُتے ایہ 38 وچ 36، 94.7% ہے۔
جے پہلا اسپن جِتے (37 وچ 18 واری)، تساں ہک اکائی نفع وچ ہو، تے ہاؤس ایج ہر نہ مُکݨ والی بیٹھک کوں تلے چھکدا ہے، ایں کیتے جلدی یا دیر نال تساں ولا برابر کنوں لنگھسو: ایہ پکا ہے۔ جے ہارے (37 وچ 19 واری)، تہاکوں ہک اکائی چڑھݨا ہے، تے کݙاہیں ہک اکائی اڳوں تھیوݨ دا امکان 18/19 ہے (اُتلی جدول ݙیکھو)۔
رَل تے: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37۔
عام طور تے امکان 1 منفی ہک اسپن جِتݨ تے ہارݨ دے امکاناں دا فرق ہے: یورپی پہیے اُتے 1 − 1/37، امریکی اُتے 1 − 2/38۔ صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← کنوں بغیر کھیݙ وچ فرق کجھ وی نہیں تے امکان 1 ہے: حساب ہمیشہ برابر تے واپس آندا ہے۔ Epstein (2013) عام اصول ݙیندا ہے۔
Pascal دا 1656 دا سوال: ݙو کھݙاری ترے پانسے سٹدے ہن، ہر ہک 12 ٹوکناں نال شروع کریندا ہے۔ ہر 11 ہک ٹوکن پہلے کھݙاری ول، ہر 14 ہک ݙوجھے ول گھن ویندا ہے؛ ٻیاں سٹاں نہیں ڳݨیاں ویندیاں۔ پہلے کھݙاری دے ساریاں 24 جِتݨ دا امکان کتنا ہے؟ تے جے ایندی بجائے تساں ہک سنگتی دے خلاف، جیہڑا بینک بݨدا ہے، ہر اسپن رتے اُتے 1 اکائی لاؤ، ہر ہک 12 اکائیاں نال، تاں ساریاں 24 جِتݨ دا امکان کتنا ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب پہلا کھݙاری 1,158 وچوں تقریباً 1,157 واری جِتدا ہے۔ تساں، رتے اُتے، صرف تقریباً 34% واری ساریاں 24 اکائیاں جِتدے ہو۔
ترے پانسے 27 طریقیاں نال 11 تے 15 طریقیاں نال 14 بݨیندے ہن، ایں کیتے ہلݨ والا ہر ٹوکن 42 وچ 27 واری، 14 وچ 9 واری، پہلے کھݙاری ول ویندا ہے۔ ہر پاسہ 12 نال شروع کرے تاں سبھ کجھ گھنݨ دا امکان 1/(1 + r¹²) ہے، جتھاں r ݙوجھے پاسے دے امکان دی تہاݙے امکان نال نسبت ہے۔
پہلے کھݙاری کیتے r = 5/9، تے (5/9)¹² ≈ 0.00086، ایں کیتے امکان تقریباً 0.99914 ہے: 9¹² بمقابلہ 5¹²، یعنی 282,429,536,481 بمقابلہ 244,140,625، تقریباً 1,157 بمقابلہ 1۔ Huygens 1657 وچ ٹھیک ایہے عدد چھاپے۔
رتے اُتے، صفر دی وجہ نال r = 19/18، تے (19/18)¹² ≈ 1.913: تہاݙا امکان 1/2.913 ≈ 34.3% ہے۔ سکہ 50% ݙیندا۔ ہر داء اُتے 2.70% دا ہاؤس ایج، لوڑیندے ٻہوں سارے داواں وچ جوڑ تے، 16 پوائنٹ دا فرق بݨ ویندا ہے۔
کِھل دا وقفہ
دلیر کھیݙ بہترین ہے۔ ایہ جلدی مُک وی ویندی ہے۔
حوالے
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Huygens دے ناں خط، 28 ستمبر 1656، اوں سوال بارے جیہڑا Pascal Fermat کوں پُچھیا ہا۔
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”