رولیٹ وچ لڳاتار سلسلیاں دا امکان
ہک رنگ دے لمے سلسلے عام ہن۔ اڳلے اسپن کیتے او بے معنی وی ہن۔
لڳاتار پنج رتے: 2.7%۔ ݙاہ: 0.074%۔ 200 اسپناں دی بیٹھک وچ ہک رنگ دے چھی دا سلسلہ ادھے کنوں ودھ واری آ ویندا ہے۔
ہاراں دا لڳاتار سلسلہ کتنی واری آندا ہے
ہک صفر والے پہیے اُتے برابر ادائیگی والا داء 37 وچوں 19 اسپن ہار ویندا ہے۔ ہر قطار ݙسیندی ہے جو اسپناں دا ہک خاص سلسلہ سارا ہارݨ دا امکان کیا ہے، تے ہر ہار دے بعد داء ݙوڳݨا کرݨ والا Martingale کھݙاری اوں ویلے تئیں کتنا ہار چکیا ہوسی۔
| لڳاتار ہاراں | امکان | تقریباً اِتنیاں وچوں 1 | ہُݨ تئیں گھاٹا | اڳلا داء |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
امکان 19/37 ہے جیکوں ہر ہار تے ہک واری آپݨے نال ضرب ݙتی ویندی ہے، ہک مقرر اسپن کنوں ڳݨ تے۔ لمی بیٹھک وچ ٻہوں سارے اسپن ہوندے ہن جتھوں اینجھا سلسلہ شروع تھی سڳدا ہے، ایں کیتے ہک شام وچ ایندا امکان ہک قطار دے ݙسے کنوں ٻہوں ودھ ہے۔
ہک سلسلہ
اڳلے k اسپناں دے سارے رتےداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← ہووݨ دا امکانریاضیامکانکہیں نتیجے دا امکان، 0 کنوں 1 تئیں یا 0% کنوں 100% تئیں۔ ہک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو ← (18/37)ᵏ ہے۔ ݙو: 23.7%۔ پنج: 2.7%۔ ݙاہ: 0.074%، تقریباً 1,350 وچوں 1۔ ویہہ: 1.8 ملین وچوں 1۔ چھویہہ، Monte Carlo دا ریکارڈ: 137 ملین وچوں 1۔ ایہ ہک خاص اسپن کنوں شروع تھیوݨ والے ہک خاص سلسلے دے امکان ہن، تے ایہ او سوال ہے جیہڑا تقریباً کوئی وی اصل وچ نہیں پچھدا۔
ہک بیٹھک وچ
لوکاں دا اصل سوال ہے “کیا میݙی بیٹھک وچ کتھائیں k دا سلسلہ آسی؟”، تے جواب (18/37)ᵏ کنوں ٻہوں وݙا ہے کیوں جو 200 اسپناں دی بیٹھک سلسلہ شروع تھیوݨ کیتے تقریباً 200 جاہیں ݙیندی ہے۔ ہکو رنگ، رتے یا کالےداءکالااُنہاں 18 نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء جیہڑے کالے ہن۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھو ←، دا چھی یا ودھ دا سلسلہ 200 اسپناں دی بیٹھک وچ تقریباً 94% ویلے آندا ہے؛ اٹھ یا ودھ تقریباً 47%؛ ݙاہ یا ودھ تقریباً 14%۔ رنگ پہلے ای ناں گھن ݙیو تاں امکان گھٹ تھی ویندے ہن، تقریباً 75%، 27% تے 7% تئیں۔ جیہڑا کھݙاری ہک شام ٻہندا ہے او ہر شام لمے سلسلے ݙیکھسی۔
Martingale کوں پرواہ کیوں ہے
ہر منفی داء ودھاوݨ دے نظامحکمت عملیداء ودھاوݨ دا نظامہر او قاعدہ جیہڑا پچھلے نتیجیاں دے مطابق داء دی رقم بدلیندا ہے۔ منفی نظام ہار دے بعد ایں کوں ودھیندے ہن، مثبت جِت دے بعد۔پورا پڑھو ← دی ہک سلسلے دی لمبائی ہے جیہڑی ایکوں توڑ ݙیندی ہے: $500 دی حد اُتے $10 دے بنیادی داء نال چھی ہاراں، Fibonacciحکمت عملیFibonacciداء ودھاوݨ دا نظام جیہڑا 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13… والے سلسلے اُتے چلدا ہے: ہار دے بعد ہک قدم اڳوں، جِت دے بعد ݙو قدم پچھوں۔پورا پڑھو ← کیتے ݙاہ، درجناںداءدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، خالص ادائیگی 2:1۔پورا پڑھو ← اُتے ترے گُݨا کرݨ کیتے پنج۔ برابر ادائیگی اُتے چھی ہاراں دے سلسلے دا امکان فی کوشش (19/37)⁶ ≈ 1.8% ہے، تے 200 اسپناں دی بیٹھک وچ شاید 100 کوششاں ہوندیاں ہن، ایں کیتے ایں لمبائی دیاں تقریباً پنجاں وچوں چار بیٹھکاں وچ ٹُٹݨ آ ویندا ہے۔ رولیٹ وچ سلسلیاں دا امکان ای وجہ ہے جو کھائی نایاب کائنی۔
تتے تے ٹھڈے نمبر
اوہو حساب ہک نمبر دے داواںداءہک نمبر دا داءہک کلہا نمبر، خالص ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو ← اُتے لاڳو تھیندا ہے۔ 300 اسپناں وچ فی نمبر متوقع گݨتی 8.1 ہے؛ معیاری انحرافریاضیمعیاری انحرافتغیر دا جذر؛ متوقع قدر کنوں کہیں نتیجے دا عام فاصلہ۔پورا پڑھو ← تقریباً 2.8 ہے۔ صرف اتفاق نال کوئی نمبر 15 واری تے کوئی 2 واری آسی، ہر واری۔ “تتے” نمبر اُبھارݨ والا نتیجیاں دا بورڈ ہک نارمل ونڈ دی چوٹی اُبھریندا پیا ہے۔ Lab سمجھیندا ہے جو تتے نمبرغلط فہمیتتا نمبراینجھا نمبر جیہڑا حالیہ ویلے وچ توقع کنوں ودھ آیا ہووے۔ سِدھے پہیے اُتے ایہ کجھ پیش گوئی نہیں کریندا۔پورا پڑھو ← دا کوئی مطلب بݨݨ کیتے کتنے اسپن چاہیدے ہن (ہک پچھاتے ہوئے پہیے کنوں، ہزاراں)۔
آزادی ای ساری ڳالھ ہے
ݙاہ رتیاں دا سلسلہ کالے دا امکان نہیں ودھیندا، تے رتے دا وی نہیں ودھیندا۔ ݙوہیں 18/37 ہن۔ سلسلے اتفاقی ترتیباں دی خاصیت ہن تے اُنہاں دا نہ ہووݨ مشکوک ہوندا: 200 اسپناں دی ایجھی ترتیب جیندے وچ چار کنوں لمبا کوئی سلسلہ نہ ہووے، ٻارہاں والے سلسلے والی ترتیب کنوں ٻہوں ودھ ہیرا پھیری دا ثبوت ہوسی۔
فارمولا
سوال جواب
18 اگست 1913 کوں Monte Carlo وچ 26 کالیاں والا واقعہ مشہور ہے۔ 1943 وچ ہک امریکی کیسینو وچ لڳاتار 32 رتیاں دی خبر آئی۔ کیسینو جتنے اسپن چلیندے ہن، ایں حساب نال ݙوہیں اتفاق نال میل کھاندے ہن۔
ݙوہیں پاسے 18/37 ہے۔ اوہو لاؤ جیہڑا تہاݙا منصوبہ آہدا ہے، یا کجھ نہ۔
نہیں۔ جھکاء ہزاراں اسپناں وچ کجھ خانیاںسامانخانہگھمݨ والے حصے اُتے نمبراں والے 37 خانیاں وچوں ہک۔ ٻئے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو ← دے ودھ واری آوݨ دی شکل وچ ظاہر تھیندا ہے، ہک رنگ دے سلسلیاں دی شکل وچ نہیں۔
حساب دی کھیݙ
پہلے آپ کوشش کرو۔ ہر حل لُکیا ہویا ہے؛ جݙاں تیار ہوو تاں کھولو۔
یورپی پہیے دے اوسطاً کتنے اسپن لڳدے ہن جے تئیں 37 نمبراں وچوں ہر ہک گھٹ کنوں گھٹ ہک واری نہ آ ونڄے؟
حل ݙکھاؤ
جواب اوسطاً تقریباً 155 اسپن؛ میانہ 147 ہے۔
انتظار کوں ہک ہک نویں نمبر کر تے ڳݨو۔ پہلا اسپن ہمیشہ نواں نمبر ݙکھیندا ہے۔ جݙاں تساں 1 نمبر ݙیکھ گھدا، 37 وچوں 36 خانےسامانخانہگھمݨ والے حصے اُتے نمبراں والے 37 خانیاں وچوں ہک۔ ٻئے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو ← نویں ہن، ایں کیتے اڳلا نواں نمبر اوسطاً 37/36 اسپن گھندا ہے۔ جݙاں تساں k نمبر ݙیکھ گھدے، ایہ 37/(37 − k) گھندا ہے۔
انتظار جوڑو: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 اسپن۔
ایندا زیادہ حصہ اخیر وچ ہے۔ صرف چھیکڑی نمبر اوسطاً 37 اسپن گھندا ہے، تے چھیکڑی پنج تقریباً 85۔ امریکی پہیے اُتے اوہو جوڑ تقریباً 161 ݙیندا ہے۔ ایہ coupon collector دا سوال ہے؛ اوہا اوسط عام حساب کنوں وی نکلدی ہے۔
یورپی پہیے دے 37 اسپناں وچ، ہر خانے کیتے ہک اسپن، تساں کتنے وکھرے نمبر ݙیکھݨ دی توقع رکھو؟
حل ݙکھاؤ
جواب تقریباً 23.6۔ نمبراں دا تقریباً تریجھا حصہ، تقریباً 13، آندے ای نہیں۔
ہک نمبر گھنو، مثلاً 17۔ ہر اسپن اُتے ایہ 36/37 امکان نال نہیں آندا، ایں کیتے ایہ ساریاں 37 اسپناں کنوں (36/37)³⁷ ≈ 0.363 امکان نال رہ ویندا ہے۔
ہر نمبر دا امکان ہکو جیہا ہے، ایں کیتے اوسطاً 37 × 0.363 ≈ 13.4 نمبر غائب ہوندے ہن تے 37 − 13.4 ≈ 23.6 آندے ہن، اُنہاں وچوں ٻہوں سارے ݙو یا ودھ واری۔
رولیٹ کھݙاری اینکوں تریجھے حصے دا قانون آہدے ہن۔ ایہ کوئی قانون کائنی، صرف دہراء دا حساب ہے: پہیے جتنی لمی لڑی وچ، نمبراں دا تقریباً تریجھا حصہ ٻاہر ٻہندے ہن، سِدھے پہیے اُتے وی ٻئے کہیں وانگوں۔ 38 خانیاں اُتے وی حصہ (37/38)³⁸ ≈ 0.363 ہے؛ وݙے پہیے کیتے ایہ 1/e ≈ 0.368 دے نیڑے ٹِک ویندا ہے۔
ہک سنگتی تہاکوں 50 رنگاں دیاں ݙو فہرستاں ݙکھیندا ہے، رتاداءرتا18 رتے نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو ← یا کالاداءکالااُنہاں 18 نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء جیہڑے کالے ہن۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھو ←، ہر ہک بارے آکھیا ویندا ہے جو صفرپہیہصفراو کلہا ساوا خانہ جیں کوں کوئی برابر ادائیگی والا، درجن یا کالم دا داء نہیں ڈھکیندا؛ ہاؤس ایج دا سرچشمہ۔ ٻئے ناں: ہک صفر، 0۔پورا پڑھو ← چھوڑ تے ہک پہیے کنوں آئی ہے۔ ہک 25 واری رنگ بدلدی ہے تے اوندا سبھ کنوں لمّا سلسلہ چھی دا ہے۔ ݙوجھی 35 واری بدلدی ہے تے کݙاہیں ترے کنوں اڳوں نہیں ویندی۔ کیہڑی گھڑی ہوئی ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب ݙوجھی۔ اصل فہرست تقریباً 24 یا 25 واری بدلدی ہے۔ 35 تبدیلیاں والی تقریباً 500 فہرستاں وچ ہک واری آندی ہے، تے ترے کنوں لمے سلسلے بغیر والی تقریباً 100 وچ ݙو واری۔
ہر نواں رنگ یا پچھلا دہریندا ہے یا بدلدا ہے، اَدھو اَدھ، ایں کیتے بدلݨ دے 49 موقعے اوسطاً 24.5 تبدیلیاں ݙیندے ہن، تقریباً 3.5 گھٹ ودھ۔ پینتی اوسط کنوں اینجھے ترے قدم اُتے ہے؛ سِدھا پہیہ اتنیاں تبدیلیاں تقریباً 500 فہرستاں وچ ہک واری ݙیندا ہے۔
سلسلے وی اوہو قصہ ݙسیندے ہن۔ 50 دی اصل فہرست وچ تقریباً 98% واری چار یا ودھ دا سلسلہ ہوندا ہے، تے اوندا سبھ کنوں لمّا سلسلہ اکثر پنج یا چھی دا ہوندا ہے۔
جنہاں لوکاں کوں بے ترتیب فہرست گھڑݨ کیتے آکھیا ونڄے او ٻہوں واری بدلدے ہن، کیوں جو چار یا پنج دا سلسلہ اُنہاں کوں نمونہ لڳدا ہے۔ Taylor (2021) طالب علماں دیاں گھڑیاں سکے اُچھالݨ دیاں فہرستاں وچ اوہا نشانی ݙکھیندا ہے: اصل بے ترتیبی لوکاں دی توقع کنوں ودھ سلسلے والی ہوندی ہے۔
کیسینو دے قصیاں دی ہک کتاب ہک کھݙاری دا ذکر کریندی ہے جیندا نمبر لڳاتار پنج واری آیا تے اینکوں ریکارڈ آہدی ہے۔ یورپی پہیے اُتے ایہ کتنا انوکھا ہے؟ تے ہک کیسینو وچ جیندے 20 میزاں ہن، ہر ہک گھنٹے وچ 40 واری گھمدی ہے، ݙینہہ رات، ایہ کتھائیں نہ کتھائیں کتنی واری تھیوݨا چاہیدا ہے؟
حل ݙکھاؤ
جواب ہک مقرر نمبر لڳاتار پنج واری: 69 ملین وچ 1۔ کوئی وی نمبر پہلی واری آوݨ دے بعد چار ٻئی واری: 1.87 ملین وچ 1۔ او کیسینو سال وچ تقریباً 7 ملین اسپن کریندا ہے، ایں کیتے اونکوں سال وچ ترے چار واری پنج دا سلسلہ ݙیکھݨا چاہیدا ہے۔
ہک مقرر نمبر ہر اسپن اُتے 1/37 امکان نال آندا ہے، ایں کیتے لڳاتار پنج دا امکان (1/37)⁵ = 69,343,957 وچوں 1 ہے۔ پر کوئی پہلے کنوں نمبر نہیں ݙسیندا۔ پہلے جو وی آوے، اڳلے چار اسپناں کوں اوہو دہراوݨا ہے: (1/37)⁴ = 1,874,161 وچوں 1۔
20 میزاں × 40 اسپن × 24 گھنٹے × 365 ݙینہہ = سال وچ 7,008,000 اسپن۔ ہر اسپن ہک سلسلہ شروع کر سڳدا ہے، ایں کیتے کیسینو سال وچ 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 پنج والے سلسلیاں دی توقع رکھدا ہے۔
ایں قسم دا کوئی سرکاری ریکارڈ موجود کائنی، تے لوڑ وی کائنی: ہک میز اُتے انوکھا واقعہ پورے کیسینو وچ معمول دا ہے، تے قصے اوں میز دے سُݨائے ویندے ہن جتھاں ایہ تھیا۔ Goldman (2007) والا قصہ ݙوہرے صفر والے پہیے اُتے ہے، جتھاں عدد 79 ملین وچ 1 تے 2.09 ملین وچ 1 ہن۔
کِھل دا وقفہ
لمے سلسلے ای اتفاق دی شکل ہن۔
حوالے
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.